Éléments de mathématique

Table de matières:

Structures algébriques: Groupes; Anneaux; Corps; Espaces vectoriels; Modules: (module libre, module de type fini, module de présentation finie); Algèbres

Algbres tensorielles, extérieures et symétriques

Action d'un groupe sur un ensemble

Module plat; Module projectif, Module injectif

Graduations, filtrations

Homologie de Koszul

Le Théorème des Syzygies

Localisation
Le théorème des zéros de Hilbert (Nullstellensatz)

Ensembles algébriques affines

Variétés algébriques

Schémas

Variétés topologiques, Variétés lisses, Faisceau structurel

Espaces fibrés, Fibrés vectoriels

Fibré tangent, Connexion affine

Fibré cotangent, Cohomologie de de Rham

Homologie singulière, groupe fondamental (homotopie)

Nombres de Betti et caractéristique d'Euler

Variétés riemanniennes

Variétés des Jets

Théorie Géométrique des systèmes différentiels

En 813, Abû `Abd Allah Muhammad Al-Khawarizmi (L'Abrégé sur le calcul d'al jabr et la réduction (en arabe: الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة)) Dans cet ouvrage, Al-Khawarizmi pose les fondations de l'algèbre en étant le premier à étudier systématiquement la résolution des équations du premier et du second degré.

En 1015 Abû Ali Al hassan Ibn alhaytam (Traité d'optique (en arabe "كِتَابُ المَنَاظِر ", en latin De Aspectibus ou Opticae Thesaurus: Alhazeni Arabis). Dans le livre V Ibn Al Haytham étudie les miroirs sphériques. Il y résout ce problème à l'aide d'intersections de coniques. La solution algébrique requiert une équation quartique. De plus elle est non constructible à la règle et au compas.

En 1070, Omar khayyam (Démonstrations sur des problèmes d'al jabr et la réduction (en arabe: رسالة في براهين الجبر والمقابلة)) proposa une résolution géométriques des équations algébriques. Il décrit le moyen d'obtenir les racines des équations cubiques à l'aide d'intersection de coniques.

En 1827, Gauss (theorema egregium (« théorème remarquable » en latin)), il est très remarquable que la courbure d'une surface puisse être décrite de façon intrinsèque.

En 1852, Euler remarqué que, pour des polyèdres, la quantité S – A + F, où S correspond au nombre de sommets, A au nombre d'arêtes et F au nombre de faces, restait constamment égale à 2. Ceci a conduit à définir la caractéristique d'Euler (invariant d'homotopie), l'homologie singulière d'un espace topologique.

En 1872, F. Klein dans son célèbre programme d'Erlangen, classifiant les différentes géométries, établit qu'une géométrie est définie par un espace et un groupe (des isométries) opérant sur cet espace.

1. Structures algébriques:

Une structure algébrique est la donnée d’un ensemble combiné à une ou plusieurs lois de composition, éventuellement complétées par un ordre ou une topologie, le tout satisfaisant un certain nombre d'axiomes.

Groupe: Un groupe est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative

admettant un élément neutre et, pour chaque élément de l'ensemble, un élément

symétrique.

Un groupe commutatif est un groupe dont la loi de composition interne est aussi

commutative.

Sous-groupe : Un sous-ensemble H d'un groupe G est un sous-groupe de G si la structure

de G induit sur H une structure de groupe.

Un sous-groupe H d'un groupe G est normal si les classes à droite et à gauche de H dans G

coïncident, c'est-à-dire pour tout x de G, xH = Hx.

Groupe quotient

On note que le quotient d'un groupe G par sous-groupe H est un groupe si et seulement si

le sous-groupe H soit normal dans G, (compatiblité de la relation d'équivalence dans G

avec la loi de G).

Produit direct de deux groupes

Le produit direct de deux groupes est une structure de groupe qui se définit

naturellement sur le produit cartésien des ensembles sous-jacents à ces groupes.

Anneau: Un anneau est un ensemble sur lequel deux opérations satisfont certaines des

propriétés de l'addition et la multiplication des nombres entiers relatifs.

De façon plus détaillée, un anneau est unensemble A muni de deux opérations (appelées

addition et multiplication) :

- A muni de l'addition est un groupe commutatif.

- La multiplication est associative, distributive par rapport à l'addition, et elle possède un élément neutre.

Un anneau commutatif est un anneau dont la multiplication est elle aussi commutative.

Une partie I de l'anneau A est appelé idéal (bilatère) de l'anneau A si :

- ( I , + ) est un sous-groupe de ( A , + ) .

- Pour tout x de I , et tout a de A , alors a x et x a sont éléments de I .

On parle d'idéal à gauche et à droite sur un anneau non commutatif.

Un anneau intègre est un anneau commutatif unitaire non nul et sans diviseur de zéro.

Caractéristique d'un anneau (unitaire): La caractéristique d'un anneau A, est le plus petit

entier n > 0 s'il existe tel que n.1 = 0. Dans le cas contraire A est dit de caractéristique nulle.

On note que La caractéristique d'un anneau intègre est soit nulle, soit un nombre premier.

Corps: Un corps est un anneau commutatif (unitaire) où tout élément non nul a un

inverse multiplicatif.

On note que tout corps commutatif est un anneau intègre.

On note que tout corps fini a pour caractéristique un nombre premier, et pour cardinal

une puissance de ce nombre.

Un anneau A commutatif est dit noethérien si tous ses idéaux sont de type fini.

Théorème de la base de Hilbert : Si A est un anneau noethérien, alors l'anneau des

polynômes en un nombre fini d'indéterminées A [X₁, … , X_n] l'est aussi.

On note que si A est un anneau noethérien, alors pour tout idéal I ⊂ A [X₁, … , X_n] , l’anneau

quotient : A [X₁, … , X_n] / I est noethérien.

Exemples :

L’anneau des polynômes C [X₁, … , X_n] est intègre et noethérien.

L’anneau des fonctions holomorphes sur un disque de C est intègre et noethérien.

L’anneau des fonctions holomorphes sur C est intègre mais non noethérien.

L’anneau des polynômes à coéficients dans C et a une infinité d'indéterminées est intègre

et non noethérien.

Module sur un anneau: On distingue les modules à gauche et à droite sur un anneau

non commutatif.

Soit A un anneau (unitaire). Un A-module à gauche (ou encore un module à gauche sur A)

est la donnée d'un ensemble M, d'une loi de composition interne qu'on note "+" dans M qui

fait de M un groupe abélien et d'une loi externe qu'on note "." de A × M dans M vérifiant,

pour tous u, v de M et tous scalaires λ, μ de A:

λ•(u + v) = (λ•u) + (λ•v) (λ + µ)•u = (λ• u) + (µ • u)

(λμ)•u = λ•(µ•u) 1•u = u

Espace vectoriel: Un espace vectoriel est un module sur un corps K.

Algèbre : Une Algèbre est un module sur un anneau commutatif muni en plus d’une loi

de composition interne bilinéaire.

$Morphisme, iso$ morphisme: Un morphisme entre deux groupes (G,+) et (G',+) est

une application de G vers G', qui vérifie : Pour tous x, y dans G : f(x + y) = f(x) + f(y).

On se contente de cette unique condition car elle a pour conséquence f(0) = 0.

Dans la catégorie des anneaux unitaires, un morphisme entre deux anneaux (A, +, ×) et

(B, +, ×) est une application de A vers B, qui vérifie les trois conditions suivantes :

- f est un morphisme de groupes de (A,+) dans (B,+)

;

- Pour tous a, b dans A, f (a × b) = f (a) × f (b) ;

- f (1) = 1.

Dans la catégorie des espaces vectoriels sur un corps K fixé, un morphisme entre deux

corps (E, +, ×) et (F, +, ×) est une application de E vers F, qui vérifie les trois conditions

suivantes :

- f est un morphisme de groupes de (E,+) dans (F,+)

;

- Pour tout x de E, pour tout λ de K, f(λ×x) = λ×f(x).

Un isomorphisme est un morphisme admettant un inverse qui est lui même un morphisme,

ou plus simplement un morphisme bijectif. C'est donc une bijection pour laquelle les

relations « algébriques » entre les éléments de l'ensemble d'arrivée sont les mêmes que

celles entre leurs antécédents respectifs (la structure algébrique est préservée).

Module libre, module de type fini, module de présentation finie

Un A-module M libre est un A-module M qui possède une base B (génératrice et libre),

c'est-à dire un sous-ensemble de M tel que tout élément de M s'écrive de façon unique

comme combinaison linéaire (finie) d'éléments de B.

Tout module est (isomorphe au) quotient d'un module libre.

Contrairement aux espaces vectoriels;

- Un module n'est pas toujours libre

- Un sous-module d'un module libre n'est en général pas libre

- Le théorème de construction des bases partant d'une partie libre ou génératrice n'est pas

valide pour les modules.

- Les bases d'un A-module M libre n'ont pas le même cardinal. mais si l'anneau sous-jacent A

est commutatif ce qui est le cas en algèbre commutative alors les bases de tout A-module M

libre ont le même cardinal.

Dans le cas où les bases d'un A-module M libre ont le même cardinal on poura

parler du rang de M comme étant le cardinal de ces bases.

Tout A-module M libre de rang n est isomorphe au A-module Aⁿ.

Un A-module M est dit de type fini s'il est engendré par un nombre fini d'éléments.

Cela revient à dire qu’il existe un entier naturel n et un morphisme surjectif de A

modules, telle que la suite Aⁿ → M→ 0 soit exacte.

Le noyau du morphisme φ est un sous-A-module de Aⁿ. C’est le module des

relations entre les générateurs de M. Le module Aⁿ et son sous module ker φ constituent

une présentation du A-module M.

Tout A-module M libre de type fini est isomorphe à un A-module Aⁿ, où n est le cardinal

de la base, (pas de relations entre ces générateurs).

Un A-module M est dit de présentation finie s’il est de type fini et que le module de relations

entre ces générateurs est lui aussi de type fini. Cela revient à dire qu’il existe

deux entiers naturels p, q, telle que la suite A^p → A^q → M→ 0 soit exacte.

C'est à dire que M est le quotient d'un Aⁿ par un sous module de type fini. .

Lorsque l'anneau A est noethérien, il n'y a pas de différence entre les A-module de type fini

et de présentation finie.

Un sous-module N d'un A-module M de type fini n'est pas nécessairement de type fini.

Un A-module M est dit noethérien si tout sous-module de M est de type fini.

Un A-module M est dit cohérent s'il est de type fini et si tout sous-module de type fini

de M est de présentation finie.

Exemple: L'anneau de polynômes à un nombre infini d'indéterminées à coefficients dans

un anneau commutatif noethérien est cohérent, mais n'est pas noethérien.

Exemples

- Le groupe symétrique d'un ensemble non vide E: l'ensemble des applications bijectives

(permutations) de E sur E muni de la composition d'applications (la loi ∘).

- Le groupe des matrices n×n inversibles à coefficients dans un corps commutif K (plus

généralement un anneau commutatif unifère), muni de la multiplication matricielle. On

le note GL(n,K).

- Le groupe des matrices n×n inversibles à coefficients dans un corps commutif K, de

déterminant 1, est un sous-groupe normal de GL(n,K). On le note SL(n,K).

- Le groupe général linéaire d'un espace vectoriel E, et on note GL(E) ou Aut(E), le groupe

des automorphismes de E muni de la composition d'applications.

- Le groupe général linéaire d'un espace vectoriel E de dimension finie n, GL(E) est

isomorphe (non canonique) à GL(n, K).

Action d'un groupe sur un ensemble: Une action d'un groupe G sur un ensemble

E est une application (loi de composition externe du groupe sur l'ensemble) de

G × E dans E , vérifiant les propriétés suivantes :

Pour tout x de E, e.x = x;

Pour tout g, h de G × G, pour tout x de E, g.(g'.x) = (g × g') . x

Une action est dite transitive si elle possède une et une seule orbite, autrement dit deux

éléments quelconques de E peuvent être envoyés l'un sur l'autre par l'action d'un élément

du groupe.

Une action est dite libre si tous les stabilisateurs sont réduits au neutre, autrement dit si

tout élément différent du neutre agit sans point fixe.

Une action est dite fidèle si l'intersection de tous les stabilisateurs est réduite au neutre,

autrement dit si seul le neutre fixe tous les points.

Une action est dite simplement transitive si elle est à la fois transitive et libre.

Autrement dit, deux éléments quelconques de l'espace sont envoyés l'un sur l'autre par un

et un seul élément du groupe.

Algèbres tensorielles, extérieures et symétriques

Produit tensoriel de deux modules: Soient A un commutatif unitaire, M et N deux A-modules.

L'espace C = A^(M × N) des combinaisons linéaires formelles d'éléments de M × N est

un A module libre dont

(e_{{(x,y)}})_{{(x,y)\in M\times N}}

de C engendré par les relations linéaires sur M × N :

e_{{(x+y,z)}}-e_{{(x,z)}}-e_{{(y,z)}}

e_{{(\alpha x,y)}}-\alpha e_{{(x,y)}}

e_{{(x,\alpha y)}}-\alpha e_{{(x,y)}}

On appelle produit tensoriel de M et N, et on note M⊗_AN le module quotient C/D.

On note

x\otimes y

la classe de

e_{{(x,y)}}

dans M⊗_AN.

On définit ainsi:

- T(V)

l'

algèbre tensorielle de V

d'un

espace vectoriel V sur un corps K

. C'est

une

K-algèbre unitaire, non-commutative en général, graduée par la longueur des mots.

Chaque tenseur se décompose de façon unique en une somme de tenseurs homogènes,

c'est-à-dire qui sont combinaisons linéaires de mots de même longueur. De même

pour T(M)

l'

algèbre tensorielle de M

d'un

module

M sur un anneau commutatif unitaire A

.

- S(V) l'algèbre symétrique par le quotient de son algèbre tensorielle par l'idéal

bilatère engendré par les commutateurs de la forme :

v\otimes u-u\otimes v

\wedge

V

l'algèbre extérieure par le quotient de son algèbre tensorielle par l'idéal

engendré par les éléments de la forme :

v\otimes v

Les algèbres et puissances tensorielles, symétriques et extérieures sont compatibilites avec

l'extension de scalaires. C'est à dire si A → B est un homomorphisme d'anneaux

commutatifs unitaires et

M_{B}=M\otimes _{A}B

(B-module par la multiplication à droite), alors

T(M_{B})

est canoniquement isomorphe à la B-algèbre

T(M)\otimes _{A}B

2. Géométrie algèbrique:

Dans la suite on ne considère que les anneaux commutatifs unitaire et les corps commutatifs.

Module plat, Module projectif, Module injectif:

Un module M sur un anneau commutatif (unitaire) A est dit plat si le foncteur covariant

_ ⊗ M est exact, c'est-à-dire pour toute suite exacte

0\to N\to L\to K\to 0

de A-modules, la suite obtenue par produit tensoriel

0\to N\otimes _{A}M\to L\otimes _{A}M\to K\otimes _{A}M\to 0

reste exacte.

Comme le produit tensoriel est exact à droite pour tout module, la propriété revient à dire que pour tout morphisme injectif de A-modules

N → L,

l'application induite

N⊗_AM → L⊗_AM

est injective.

Un module M sur un anneau commutatif (unitaire) A est dit projectif si pour tout
A-module N, tout morphisme de M vers un quotient de N se factorise par N.

Un module M sur un anneau commutatif (unitaire) A est projectif si et seulement si le foncteur covariant Hom(M,−) est exact, c’est à dire que pour toute suite exacte courte
0 → F → B → C → 0
de A-modules, la suite de A-modules

0 → Hom(M, F) → Hom(M, B) → Hom(M,C) → 0
reste exacte.

On note que Hom(M,−) est exacte à gauche.

Un module M sur un anneau commutatif (unitaire) A est injectif si et seulement si le foncteur contravariant Hom(−, M) est exact, c’est à dire que pour toute suite exacte courte

0 → F → B → C → 0
de A-modules, la suite de A-modules,

0 → Hom(F, M) → Hom(B, M) → Hom(C, M) → 0

reste exacte.

On note que Hom(−, M) est exacte à gauche.

Graduations, filtrations

Homologie de Koszul

Le Théorème des Syzygies

Localisation

La localisation consiste à rendre inversibles les éléments d'une partie (« partie multiplicative ») de l'anneau. On peut aussi voir la localisation comme une manière d'envoyer l'anneau dans un anneau « plus grand » dans lequel on a autorisé des divisions par des éléments qui n'étaient auparavant pas inversibles. On fait apparaître de façon naturelle des anneaux locaux.

La localisation est une généralisation de la construction du corps des fractions d'un anneau (intègre (commutatif unitaire)) qui elle même une généralisation de la construction du corps des rationnels à partir de l'anneau des entiers relatifs.

On note que par construction on fait apparaître de façon naturelle des anneaux locaux. Or un anneau local est un anneau commutatif possédant un unique idéal maximal. Et que le quotient d'un anneau local A par son unique idéal maximal est un corps, dit le corps résiduel de A (les seuls éléments de non inversibles de A sont ceux appartenant à son (unique) idéal maximal).

Corps des fractions: Le corps des fractions d'un anneau intègre (commutatif unitaire) A est le plus petit corps commutatif (à isomorphisme près) contenant A (se construit en rendant inversibles tous les éléments non nuls de l'anneau A ).

Sa construction est une généralisation à un anneau de la construction du corps des rationnels à partir de l'anneau des entiers relatifs. Appliqué à un anneau de polynômes, il permet la construction de son corps des fractions rationnelles.

Cette construction se généralise encore avec le procédé de localisation.

l'anneau localisé: Pour construire S ^-1A l'anneau localisé d'un anneau A intègre (commutatif unitaire) en la partie multiplicatif (contenant 1 et stable par la multiplication)

S\subset A

donnée, on procède comme dans la construction du corps des fractions.

On note que S^-1A est plat pour la structure de A-module induite par le morphisme d'anneaux

l_{S}\,:\,A\rightarrow S^{-1}A

En géométrie algébrique, les anneaux locaux représentent les fonctions définies au voisinage d'un point donné.

Le théorème des zéros de Hilbert (Nullstellensatz)

Ensembles algébriques affines

Variétés algébriques

Schémas

3. géométrie différentielle:

Variétés topologiques

Variété topologique: Une variété topologique M de dimension n est un espace topologique séparé à base dénombrable, tel que chacun de ses points admet un voisinage ouvert homéomorphe (homéomorphisme = bijection continue ainsi que sa réciproque) à un ouvert de l'espace vectoriel topologique ℝⁿ.

Les homéomorphismes locaux sont appelés cartes et définissent des systèmes de coordonnées locales.

Variétés différentielles

Variété lisse: La structure différentielle lisse est définie en exigeant certaines propriétés de régularité des applications de transition entre les cartes.

Une famille de cartes

(U_i,\varphi_i)

qui recouvre (entièrement)

M

est dite de classe C^k,

1 \leq k \leq +\infty

, si : pour tous les indices i et j tels que

U_i\cap U_j\neq\varnothing

, l'application de changement de cartes

\varphi_i\circ\varphi_j^{-1}: \varphi_j(U_i\cap U_j) \to \varphi_i(U_i\cap U_j)

est un difféomorphisme de classe C^k, c'est-à-dire une bijection de classe C^k dont la bijection réciproque est aussi de classe C^k.

Une variété lisse

M

est une variété topologique munie de toutes les cartes toutes compatibles avec une famille de cartes

(U_i,\varphi_i)

qui recouvre (entièrement)

M

Exemple:
$\varphi :S^{2}\setminus \{N\}\rightarrow \mathbb{R} ^{2},\quad (x,y,z)\longmapsto \left({\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right)$
est une carte locale de S².

L'application réciproque:

\varphi ^{{-1}}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow S^{2}\setminus \{N\},\quad (X,Y)\longmapsto \left({\frac {2X}{1+X^{2}+Y^{2}}},{\frac {2Y}{1+X^{2}+Y^{2}}},{\frac {-1+X^{2}+Y^{2}}{1+X^{2}+Y^{2}}}\right)

est donc le paramétrage de S²\{N} déduit de

\varphi

Anneau des fonctions différentiables

{C^{{\infty }}}(M)

:

Une fonction f : M → R est dite indéfiniment différentiable si pour toute carte

\varphi :U\to {\mathbf {R} }^{n}

, la fonction

f\circ \varphi ^{-1}\colon \varphi (U)\subset {\mathbf {R} }^{n}\to {\mathbf {R} }

est indéfiniment différentiable au point

\varphi (p)

.
On note que cette définition ne dépend pas de la carte locale choisie.

Définition faisceautique d’une variété différentielle

Une variété différentielle lisse dimension n est un espace topologique

X

séparé à base dénombrable, muni d'un faisceau d’anneaux

{\mathcal {F}}

sur

X

, noté (

X

;

{\mathcal {F}}

) tel que (

X

;

{\mathcal {F}}

) est localement isomorphe à des ouverts de ℝⁿ munis des faisceaux des applications lisses sur ses ouverts .

Le faisceau

{\mathcal {F}}

faisceau structurel de

X

.

Préfaisceau: Soit $X$ un espace topologique et $\mathcal C$ une catégorie. Un préfaisceau ${\mathcal {F}}$ sur $X$

- Pour tout ouvert U de X,

{\mathcal {F}}(U)\in {\mathcal {C}}

- Pour tout ouvert V inclus dans U, un morphisme

\rho _{{VU}}:{\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {F}}(V)

, appelé morphisme de restriction de U sur V ;

tels que, pour toutes inclusions d'ouverts

W\subset V\subset U

, on ait :

\rho _{{WU}}=\rho _{{WV}}\circ \rho _{{VU}}

Un élément

s\in {\mathcal {F}}(U)

s'appelle une section de

{\mathcal {F}}

au-dessus de U.

Faisceau: Un préfaisceau

{\mathcal {F}}

sur

X

est appelé faisceau lorsque pour tout ouvert V de

X

, réunion d'une famille d'ouverts

\{V_{i}\}_{I}

, et pour toute famille

\{s_{i}\}_{I}

de sections de

{\mathcal {F}}

sur les ouverts

V_i

, vérifiant :

s_{i}|_{{V_{i}\cap V_{j}}}=s_{j}|_{{V_{i}\cap V_{j}}}

il existe une unique section s de

{\mathcal {F}}

sur V telle que :

s|_{{V_{i}}}=s_{i}

Soient

X

un espace topologique de dimension n,

{\mathcal {F}}

un faisceau d’anneaux sur

X

. Soit W un ouvert de ℝⁿ, O_W le faisceaux des applications lisses sur W. Dire que (X;

{\mathcal {F}}

) est localement isomorphe à des ouverts de ℝⁿ munis des faisceaux des applications lisses sur ces ouverts, signifie que pour tout x de

X

, on peut trouver un voisinage ouvert U de x et un ouvert V de ℝⁿ tel que(U;

{\mathcal {F}}

/U) est isomorphe(V;O_v).

Espaces tangents:

Soit M est une variété lisse plongée dans ℝⁿ.
L'espace tangent à M en un de ces point x est tout simplement l'ensemble des vecteurs tangents en x aux courbes lisses (de classe C¹) tracées sur M et contenant x. C'est à dire l'ensemble des vecteurs v tel qu'il exciste un chemin lisse γ : ]–1, 1[ → ℝⁿ, avec Im(γ) ⊂ M, γ(0) = x et γ'(0) = v.

On note que en tout point x de la variété M, l'espace tangent T_xM est un sous-espace vectoriel de ℝⁿ, de même dimension que M.

Soit M est une variété différentielle lisse de dimension n, et que x est un point de M.
Soit (U, φ) une carte locale de M en x. Deux courbes γ₁, γ₂ : ]–1, 1[ → M, telles γ₁(0) = γ₂(0) = x, sont dites mutuellement tangentes en p siφ∘γ₁, φ∘γ₂ : ]–1, 1[ → ℝ sont différentiables en 0 et (φ∘γ₁)'(0) = (φ∘γ₂)'(0).

Cette relation est une relation d'équivalence sur l'ensemble de telles courbes et les classes d'équivalence de ces courbes γ sont dites les vecteurs tangents en x à M et notés γ'(0).

L'ensemble des ces classes est dit l'espace tangent en x à M, noté T_xM.

La fonction γ ↦ (φ∘γ)'(0) induit par passage au quotient une bijection de T_xM dans ℝⁿ qui fait de l'espace tangent un espace vectoriel.
On note que la structure vectorielle ne dépend pas de la carte locale choisie.

Considerons une fonction différentiable f : M → ℝ et suivons sa valeur le long de la courbe γ : nous avons donc une fonction réelle f ◦ γ : ℝ → ℝ. Pour toute carte φ : U → R au voisinage de x on a alors f ◦ γ = (f ◦ φ ^-1 ) ◦ (φ ◦ γ ) .
(f ◦ γ)'(0) = ...
On montre donc que les vecteurs tangents s'interprètent comme des dérivations sur

{C^{{\infty }}}(M)

.

Etant donné une carte locale de M en p

\varphi =(x^{1},\ldots ,x^{n}):U\to \mathbf {R} ^{n}

, on obtient une base

\left(\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right)_{p}\right)_{i=1}^{n}

T_{p}M

\forall i\in \{1,\ldots ,n\},~\forall f\in {C^{\infty }}(M):\qquad {\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right)_{p}}(f)~{\stackrel {\text{df}}{=}}~({\partial _{i}}(f\circ \varphi ^{-1}))(\varphi (p)).

Espaces fibrés, Fibrés vectoriels:

Intuitivement, un espace fibré est localement le produit de deux espaces, appelés la base et la fibre.

Fibré tangent

Le fibré tangent TM associé à une variété différentielle M lisse de dimension n est la somme disjointe de tous les espaces tangents en tous les points de la variété, muni d'une structure de variété différentielle prolongeant celle de M ; c'est un espace fibré de base M de dimension 2n.

Derivée covariante, Connexions, Connexion affine,Transport parallèle

La derivée covariante est une notion qui prolonge la dérivée usuelle d'une fonction dans la direction d'un vecteur, on définit donc la dérivée covariante d'un vecteur et plus généralement la dérivée covariante d'un tenseur.
Les connexions de Koszul sont définies de la même manière sur des espaces de sections de fibrés vectoriels. Les connexions d'Ehresmann sont des généralisations aux fibrés des connexions de Koszul.

Connexions

Soit M une variété différentielle et E→M un fibré vectoriel de rang fini. Une connexion sur M est une application bilinéaire ∇ qui à une section globale s de E et à un champ de vecteurs X de M, associe une section de E notée

\nabla _{X}s

vérifiant pour toute fonction différentiable f de M à valeurs réelles, et pour tout champ de vecteur X de M:

Linéarité en X : $\nabla _{fX}s=f.\nabla _{X}s$ .
Règle de Leibniz pour la seconde variable : $\nabla _{X}(fs)=df(X)s+f\nabla _{X}s$ .

Connexions affines

Soient M une variété différentielle et C^∞(M,TM) l'espace des sections lisses du fibré tangent TM. Une connexion affine sur M est une application bilinéaire ∇:

{\begin{matrix}C^{\infty }(M,TM)\times C^{\infty }(M,TM)&\rightarrow &C^{\infty }(M,TM)\\(X,Y)&\mapsto &\nabla _{X}Y,\end{matrix}}

telle que pour toutes les fonctions « lisses » (indéfiniment dérivables) f ∈ C^∞(M,R) et tous les champs de vecteurs X, Y sur M, on ait:

Linéarité en X : $\nabla _{{fX}}Y=f\nabla _{X}Y$ .
Règle de Leibniz pour la seconde variable : $\nabla _{X}(fY)={\mathrm d}f(X)Y+f\nabla _{X}Y$ .

\nabla

est dite sans torsion si pour tous champs de vecteurs

X

Y

\nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y]

.

Transport parallèle

Fibré cotangent

Le fibré cotangent associé à une variété différentielle M est le fibré vectoriel dual T*M

de son fibré tangent TM : en tout point m de M, l'espace cotangent est défini comme l'espace dual de l'espace tangent :

T_{m}^{*}M=(T_{m}M)^{*}.

Les sections lisses du fibré cotangent sont dites des 1-formes différentielles.

Algèbre extérieure des formes différentielles

On note

\Lambda ^{k}T_{x}^{*}M

l"espace vectoriel, ensemble des applications k-linéaires alternées sur

T_{x}M

. Et on définit

\Lambda ^{k}T^{*}M

le fibré vectoriel sur M. Les sections lisses de ce fibré vectoriel sont dites des formes différentielles de degré k.

Si E est un fibré vectoriel sur M, une forme différentielle de degré k à valeurs dans E est une section globale du produit tensoriel

\Lambda ^{k}T^{*}M\otimes E

On définit le produit intérieur et le produit extérieur de deux formes différentielles α et β de degrés respectifs k et q. et on note que

\alpha \wedge \beta =(-1)^{{kq}}\beta \wedge \alpha .

\Omega ^{k}(M)

\Omega (M)=\oplus \Omega ^{k}(M)

est une algèbre graduée.

La dérivée extérieure est définie comme l'unique application

\mathrm d:\Omega(M)\to \Omega(M)

, transformant les k-formes en (k + 1)-formes, et vérifiant :

si $f$ est une fonction lisse, la 1-forme $d f$ est la différentielle de $f$
pour toutes formes $α$ et $β$ , où $α$ est de degré $p$ : $\mathrm {d} (\alpha \wedge \beta )=\mathrm {d} \alpha \wedge \beta +(-1)^{p}(\alpha \wedge \mathrm {d} \beta )$
le carré de $d$ est nul : $d(dω) = 0$ .

Une forme différentielle

ω

pouvant s'écrire comme une dérivée extérieure (

ω = dξ

) est dite exacte.

Une forme différentielle

ω

dont la dérivée est nulle (

dω = 0

) est dite fermée.

Les formes exactes et les formes fermées sont donc, respectivement, l'image et le noyau de

d

Le troisième axiome se reformule en: toute forme exacte est fermée.

La réciproque n'est pas vraie en général, et l'étude des liens entre formes exactes et formes fermées conduit à la théorie de la cohomologie de De Rham.

Cohomologie de de Rham

Soit M une variété différentielle. Pour tout entier naturel p :

Ω^p(M) est l'espace des formes différentielles de degré p sur M.

d^p : Ω^p(M) → Ω^p+1(M) est l'opérateur de différentiation extérieure sur les formes différentielles de degré p.
Z^p(M) l'espace des p-formes fermées. C'est le noyau de d^p.
B^p(M) l'espace des p-formes exactes. C'est l'image de d^{p – 1}.

On note que B^p(M) est un sous-espace de Z^p(M).

Et on définit l'algèbre graduée H(M) — la cohomologie de De Rham de M — comme l'homologie du complexe de cochaînes de De Rham associé à l'algèbre différentielle graduée (Ω(M), d).

Sa composante de degré p est donc l'espace vectoriel quotient de Z^p(M) par B^p(M) :

H^{p}(M)\ =\ Z^{p}(M)\,/\,B^{p}(M),

c'est-à-dire l'espace des p-formes fermées modulo le sous-espace des p-formes exactes.

H^p(M) = 0 si p < 0 ou si p est strictement supérieur à la dimension de M.

La dimension de H^p(M) s'appelle le p-ième nombre de Betti (réel), noté b_p(M).

4. Géométrie riemannienne:

Sur une variété, la distance euclidienne n'est généralement pas valable. Les géodésiques, minimisant les distances, ne sont généralement pas les segments de droite de la géométrie euclidienne. Il s'agit alors d'en définir une autre, intrinsèque (propre à la variété). Lorsque cela est possible, on parle de variété riemannienne.

Connexions, Connexion affine

Soient M une variété différentielle et C^∞(M,TM) l'espace des sections lisses du fibré tangent TM. Une connexion affine sur M est une application bilinéaire ∇:

{\begin{matrix}C^{\infty }(M,TM)\times C^{\infty }(M,TM)&\rightarrow &C^{\infty }(M,TM)\\(X,Y)&\mapsto &\nabla _{X}Y,\end{matrix}}

telle que pour toutes les fonctions « lisses » (indéfiniment dérivables) f ∈ C^∞(M,R) et tous les champs de vecteurs X, Y sur M, on ait :

$\nabla _{{fX}}Y=f\nabla _{X}Y$ , c'est-à-dire que ∇ est C^∞(M,R)-linéaire en la première variable ;
$\nabla _{X}(fY)={\mathrm d}f(X)Y+f\nabla _{X}Y$ , c'est-à-dire que ∇ vérifie la règle de Leibniz pour la seconde variable.

Transport parallèle :

Bibliographie :

Éléments de mathématique

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mercredi 4 octobre 2017

Éléments de Mathématique